probleme geometrie, o sugestie

1.ABCDA'B'C'D' cub.M apartine lui AB si N apartine lui BC astfel incat AM =BN.
Aratati ca CM perpendiculara pe D'N.

2.O, A, B, C sunt necoplanare si OA perpendiculara pe OB, OB perpendiculara pe OC, OC perpendiculara pe OA.
Demonstrati ca :
a)H este ortocentrul triunghiului ABC si OH perpendiculara pe (ABC)
b)Formulati o teorema reciproca si demonstrati.

3.ABCD tetraedru, iar muchiile opuse sunt perpendiculare doua cate doua.Proiectiile lui D pe BC, AC, AB sunt A', B', C'.
Aratati ca AA', BB', CC' sunt concurente.

1.i) In patratul ABCD: notezi intersectia dintre CM si DN cu H; triunghiurile MBC si NCD cunt congruente(C.C) => < BCM congr. < CDN.
m(< NCH) + m(<DCH) = 90 = > m(<CHD) = 90 = > CH _|_ DH = > CM _|_ DN

ii) DD’ _|_ CM = > CM _|_ DD’

Din i) si ii) = > CM _|_ (DD’N) = > CM _|_ D’N.

2. a) Formularea problemei este un pic aiurea, dupa parerea mea!
Incercam in felul urmator: consideram, pe langa conditiile date, ca: OH _|_(ABC), demonstram ca H este ortocentrul triunghiului ABC.
Daca OH _|_ (ABC) , cum AB este inclusa in (ABC) = > OH _|_ AB, de unde AB _|_ OH;
OC _|_ OA, OC _|_ OB = > OC _|_(AOB) = > OC _|_ AB , de unde AB _|_ OC si deci
AB _|_ (OCH) = > AB _|_CH = > CH _|_ AB , deci CH este o inaltime in tr. ABC

La fel demonstrazi pentru BH si AH.

Apoi H ortocentrul, demonstrezi ca OH este perpendicular pe planul (ABC)…

b ) O reciproca, sa zicem:

*Daca H este ortocentrul triunghiului ABC si O este un punct exterior triunghiului ABC, astfel incat OH _|_ (ABC), demonstrati ca OA_|_ OB, OA_|_ OC, OB_|_ OC.*

Dem: Notezi BH intersectat cu AC = {M}; OH _|_ (ABC) = > OH _|_ AC = > AC _|_| OH; BM _|_AC = > AC _|_ BM = > AC _|_ (BOM) = > AC _|_ OM .
Deci, in M, avem: BM _|_ AC, OM _|_ AC = > OB _|_ (BOM) = > OB _|_ OA , OB _|_ OC s.a.m.d.

Acest mesaj a fost modificat de către Natalee la data 4 Nov 2010, 08:48 AM

Ai, de exemplu: DA’ _|_ BC, BC _|_ AD (BC si AD sunt laturi opuse) BC _|_ (ADA’) = > BC _|_ AA’ = > AA’ o inaltime in triunghiul ABC. La fel procedezi, pentru DB’ _|_ AC … s.a.m.d.

Punctul lor de concurenta este ortocentrul triunghiului ABC .

va multumesc foarte mult!